Profile decomposition and phase control for circle-valued maps in one dimension

When 1 < p <∞, maps f in W1/p,p((0,1);S1) have W1/p,p phases φ, but the W1/p,pseminorm of φ is not controlled by the one of f . Lack of control is illustrated by “the kink”: f = eıφ, where the phase φ moves quickly from 0 to 2π. A similar situation occurs for maps f : S1 → S1, with Moebius maps playing the role of kinks. We prove that this is the only loss of control mechanism: each map f : S1 → S1 satisfying | f | W1/p,p ≤ M can be written as f = eıψ K ∏ j=1 (Ma j ) ±1, where Ma j is a Moebius map vanishing at a j ∈D, while the integer K = K( f ) and the phase ψ are controlled by M. In particular, we have K ≤ cp M for some cp. When p = 2, we obtain the sharp value of c2, which is c2 = 1/(4π2). As an application, we obtain the existence of minimal maps of degree one in W1/p,p(S1;S1) with p ∈ (2−ε,2). Résumé. Décomposition en profils et contrôle des phases des applications unimodulaires en dimension un. Si 1 < p <∞, les applications f appartenant à W1/p,p((0,1);S1) ont des phases φ dans W1/p,p, mais la seminorme W1/p,p de φ n’est pas contrôlée par celle de f . L’absence de contrôle est illustrée par “le pli”: f = eıφ, où la phase φ augmente rapidement de 0 à 2π. Pour des applications f :S1 →S1, le même phénomène apparaît, avec les transformations de Moebius jouant le rôle des plis. Nous prouvons que cet exemple est essentiellement le seul : toute application f :S1 →S1 telle que | f | W1/p,p ≤ M s’écrit f = eıψ K ∏ j=1 (Ma j ) ±1, où Ma j est une transformation de Moebius s’annulant en a j ∈ D, tandis que l’entier K = K( f ) et la phase ψ sont contrôlés par M. En particular, nous avons K ≤ cp M pour une constante cp. Pour p = 2, nous obtenons la valeur optimale de c2, qui est c2 = 1/(4π2). Comme application, nous obtenons l’existence d’une application minimale de degré un dans W1/p,p(S1;S1) avec p ∈]2−ε,2[.